Mons. Dražen Kutleša è nato a Tomislavgrad il 25 settembre 1968, dal padre Krešo e dalla madre Danica nata Ćurić. Dopo avere frequentato dal 1975 al 1983 la scuola del ciclo elementare a Prisoje, è entrato nel Seminario Minore, e nel 1987 ha ottenuto il diploma presso Liceo Classico Ruđer Bošković di Ragusa di Dalmazia (Dubrovnik). Si è poi iscritto e ha terminato gli studi di filosofia e teologia presso la Facoltà di teologia dell'Arcidiocesi di Vrhbosna a Sarajevo, dove si è laureato nel 1993. Ne1994 ha conseguito il baccellierato. È stato ordinato sacerdote della Diocesi di Mostar-Duvno il 29 giugno 1993 a Prisoje. Nel 1995 si è iscritto al corso di studi di post-laurea in diritto canonico presso la Pontificia Università Urbaniana di Roma, dove ha conseguito la laurea magistrale nel 1997 e il dottorato nel 2001.
Dal 1993 al 1995 è stato vicario parrocchiale presso il Duomo di Mostar e catechista nelle scuole secondarie. Dal 1998 al 2006 ha ricoperto gli incarichi di Vice-cancelliere della Curia diocesana, Amministratore parrocchiale a Grude, Docente di diritto canonico presso l'Istituto Teologico di Mostar, e membro del Consiglio dei Consultori e del Consiglio presbiterale. Dal 2006 al 2011 è stato ufficiale della Congregazione per i vescovi in Vaticano. Dal 2010 è collaboratore esterno della Congregazione per il culto e la disciplina dei sacramenti.
Il 17 ottobre 2011 papa Benedetto XVI lo ha nominato vescovo coadiutore della Diocesi di Parenzo-Pola, e ha ricevuto la consacrazione episcopale il 10 dicembre 2011 nella Basilica Eufrasiana di Parenzo. Come motto episcopale ha scelto queste parole del Salmo 31: «In te, Signore, confido!» Il 14 giugno 2012 è stato nominato vescovo diocesano della Diocesi di Parenzo-Pola.
L'11 luglio 2020 è stato nominato da papa Francesco arcivescovo coadiutore di Spalato-Makarska. Da allora egli amministra la Diocesi di Parenzo-Pola in qualità di amministratore apostolico. Il 13 maggio 2022, nella cattedrale dell'Assunzione della Beata Vergine Maria a Spalato, ha assunto l'amministrazione dell'Arcidiocesi di Spalato-Makarska.
Il 13 luglio 2022 Papa Francesco lo ha nominato membro del Dicastero per i vescovi.
Il 18 ottobre 2022 è stato eletto presidente della Conferenza episcopale croata. Nella Conferenza episcopale croata ricopre gli incarichi di presidente del Consiglio permanente, di presidente della Commissione giuridica e di presidente della Commissione episcopale per i rapporti con lo Stato.
Il 14 febbraio 2023 è stato nominato arcivescovo coadiutore di Zagabria.
Sabato 15 aprile 2023, Papa Francesco ha accettato la rinuncia dalla carica di arcivescovo di Zagabria, cardinale Josip Bozanić, e quindi mons. Kutleša è diventato arcivescovo di Zagabria. Il giorno della festa liturgica di Santa Caterina da Siena, dottore della Chiesa e compatrona d'Europa, mons. Dražen Kutleša ha assunto la carica di arcivescovo di Zagabria durante la celebrazione eucaristica nello Struttura liturgica Beato Alojzije Stepinac.
